Jaunųjų
mokslininkų darbai eISSN
1648-8776
2022, vol. 52 (1), pp. 47–56 DOI:
https://doi.org/10.15388/JMD.2022.12
Samanta Zakaitė
samanta.zakait@gmail.com
Antanas
Garbaliauskas
Šiaulių valstybinė kolegija
a.garbaliauskas@svako.lt
Santrauka.
Darbe įrodyta elipsinių kreivių L funkcijų diskrečiojo
universalumo teorema silpnojo tikimybinių matų konvergavimo prasme
analizinių funkcijų erdvėje. Nagrinėjamas analizinės funkcijos
aproksimavimas postūmiais , čia
m įgyja reikšmes iš diskrečiosios aibės, pavyzdžiui, aritmetinės
progresijos. Fiksuotas skaičius h > 0 pasirenkamas taip, kad
exp{2πk/h} būtų racionalusis skaičius su tam tikrais
. Elipsinių kreivių L funkcijų diskrečiojo
universalumo įrodymas remiasi šios funkcijos diskrečiąja ribine teorema
tikimybinių matų silpnojo konvergavimo prasme analizinių funkcijų
erdvėje.
Reikšminiai žodžiai: elipsinių kreivių L funkcija, ribinė teorema, diskretusis universalumas.
Summary. In the paper, we prove the
discrete universality theorem in the sense of the weak convergence of
probability measures in the space of analytic functions for the
L-functions of elliptic curves. We consider an approximation of
analytic functions by translations , where h
> 0 is a fixed number, m takes values from some discrete set
such as arithmetical progression. We suppose that the number h > 0
is chosen so that exp{2πk/h } is a rational number for some
. The proof of discrete universality of L-functions
of elliptic curves is based on a limit theorem in the sense of weak
convergence of probability measures in the space of analytic functions.
Keywords: L-function of elliptic curves, limit theorem, discrete universality.
Received:
2022-05-02. Accepted: 2022-05-23
Copyright © 2022 Samanta
Zakaitė, Antanas Garbaliauskas. Published by Vilnius University Press. This is an
Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons
Attribution Licence, which permits unrestricted use, distribution, and
reproduction in any medium, provided the original author and source are
credited.
Tegul E elipsinė kreivė virš racionaliųjų skaičių kūno duota Vejerštraso (Weierstrass) lygtimi
,
Z.
Pažymėkime kreivės
E diskriminantą. Tada kubinio trinario
šaknys yra
skirtingos ir kreivė E yra nesinguliarioji.
Kiekvienam
pirminiam p pažymėkime
lyginio
sprendinių skaičių. Tegu o
– kompleksinis kintamasis. Tuomet elipsinės kreivės L
funkcija apibrėžiama Oilerio (Euler) sandauga
Remiantis Hasės (Hasse) įverčiu
begalinė sandauga, apibrėžianti funkciją ,
konverguoja absoliučiai ir tolygiai pusplokštumės
kompaktiniuose
poaibiuose ir apibrėžia analizinę nelygią nuliui funkciją. Šioje srityje
funkcija
gali būti
išreikšta Dirichlė (Dirichlet) eilute
čia yra multiplikatyvioji funkcija, o ši eilutė taip pat
absoliučiai konverguoja srityje
.
Funkcijos
analizinis pratęsimas glaudžiai susijęs su tam tikrų modulinių
formų L funkcijomis. Funkcijos
analizinės
savybės sutampa su svorio 2 naujųjų formų L funkcijų
savybėmis.
1 savybė. Funkcija analiziškai
pratęsiama į visą kompleksinę plokštumą ir tenkina funkcinę lygtį
čia q – natūralusis skaičius, sudarytas iš
diskriminanto pirminių
daugiklių,
, o
yra Oilerio gama funkcija.
2 savybė. Furjė eilutė
yra
svorio 2 naujoji forma kurio nors Hekės pogrupio
atžvilgiu.
Šias savybes 2001 metais įrodė C. Brioilis (Breuil), B. Konradas (Conrad), F. Daimondas (Diamond) ir R. Teiloras (Taylor) [2].
Elipsinių kreivių L funkcija, kaip ir dauguma klasikinių dzeta ir L funkcijų, yra universali Voronino prasme. Liniko-Ibragimovo hipotezė sako, kad visos funkcijos tam tikroje pusplokštumėje apibrėžtos Dirichlė eilute, analiziškai pratęsiamos į kairę nuo absoliutaus konvergavimo pusplokštumės ir tenkinančios tam tikras didėjimo sąlygas, yra universalios Voronino prasme.
Rymano ir L funkcijų universalumas plačiai taikomas kvantinėje mechanikoje, kondensuotų medžiagų fizikoje bei statistinėje fizikoje [6].
Pažymėkime meas
A mačiosios aibės Lebego matą. Kai
, tegul
čia
vietoj daugtaškio įrašomos sąlygos, kurias tenkina .
Tegul
žymi kompleksinę
plokštumą, o sritis
. Tolydaus tipo
universalumo teoremą elipsinių kreivių L funkcijai įrodė A.
Laurinčikas ir V. Garbaliauskienė.
A teorema [4]. Tarkime,
kad E yra nesinguliarioji elipsinė kreivė virš racionaliųjų skaičių kūno.
Tegul K yra juostos D kompaktinis poaibis su jungiuoju papildiniu, o yra tolydi nelygi nuliui funkcija poaibyje K ir analizinė K
viduje. Tuomet su kiekvienu ε >0
Pastaroji
teorema rodo, kad egzistuoja be galo daug postūmių ,
kurie norimu tikslumu ε aproksimuoja duotąją analizinę funkciją
. Be to aibė tokių
turi teigiamą
apatinį tankį. Tolydaus tipo universalumo teoremose
kinta tolydžiai intervale [0, T].
Be šio tipo teoremų
egzistuoja universalumo teoremų diskretusis atvejis. Rymano dzeta funkcijos
diskretųjį universalumą nagrinėjo S. M. Voroninas (Voronin) (1979) [9] ir B.
Bagči (Bagchi) (1981) [1] . Šio universalumo atveju postūmio menamoji dalis
įgyja reikšmes iš tam tikros diskrečiosios aibės, pavyzdžiui, iš aritmetinės
progresijos. Tegu
ir
čia
vietoj daugtaškių įrašomos sąlygos, kurias tenkina m, o yra fiksuotas skaičius.
Elipsinių kreivių L funkcijų diskretųjį universalumą įrodė V. Garbaliauskienė ir A. Laurinčikas.
B teorema ([3]). Tarkime, kad yra iracionalusis skaičius su visais
. Tegul K yra juostos D kompaktinis poaibis su jungiuoju
papildiniu, o
yra tolydi
nelygi nuliui funkcija poaibyje K ir analizinė K viduje. Tuomet su kiekvienu
ε >0
Šioje
teoremoje matome, jog postūmių ,
aproksimuojančių duotąją analizinę funkciją, aibė yra pakankamai gausi: ji
turi teigiamą apatinį tankį.
Atvejis, kai yra racionalusis
skaičius, su kuriais nors
yra
sudėtingesnis. Sudėtingumo problemos kyla iš ribinės teoremos analizinių
funkcijų erdvėje funkcijai
.
Šio straipsnio tikslas – įrodyti
elipsinių kreivių L funkcijų diskretųjį universalumą, pasirenkant
tokį, kad
būtų
racionalusis skaičius tam tikriems
.
1
teorema. Tarkime, kad egzistuoja sveikasis skaičius , toks, kad
yra
racionalusis skaičius. Tegu K yra juostos D kompaktinis poaibis su jungiuoju
papildiniu, o
yra tolydi
nelygi nuliui funkcija poaibyje K ir analizinė K viduje. Tuomet su kiekvienu
ε >0
Teoremos įrodymas remiasi diskrečiosiomis ribinėmis teoremomis tikimybinio mato silpnojo konvergavimo prasme.
Pirmiausiai apibrėšime atsitiktinį elementą
analizinių funkcijų erdvėje. Kadangi
yra racionalusis skaičius su tam tikrais sveikaisiais
, todėl pakanka pasirinkti tik teigiamuosius skaičius
k, tenkinančius šią savybę. Tegul
yra
mažiausias iš jų. Tada kiti skaičiai
yra
skaičiaus
kartotiniai [7]. Tarkime, kad
Tegul
yra vienetinis apskritimas kompleksinėje plokštumoje
. Apibrėžkime begaliniamatį torą
,
čia su kiekvienu
pirminiu p. Su sandaugos topologija ir pataškine daugyba
yra
kompaktinė tolopoginė Abelio (Abelian) grupė. Pažymėkime
elemento
projekciją
koordinatinėje erdvėje
su visais
tegul
čia reiškia,
kad
, bet
. Dėl to,
yra visiškai
multiplikatyvi funkcija ir
Pažymėkime
– metrinės erdvės S Borelio (Borel) aibių klasę, o
H(D) – analizinių srityje D funkcijų erdvę su tolygaus
konvergavimo kompaktuose topologija. Apibrėžkime
Tuomet yra toro
uždarasis pogrupis, todėl jis taip pat yra kompaktinė
topologinė Abelio grupė. Tokiu būdu erdvėje
galime apibrėžti
tikimybinį Haro (Haar) matą
. Taip gauname
tikimybinę erdvę
.
Tegul
kompleksinės plokštumos sritis, o su visais
ir
,
2
teorema. yra
reikšmis atsitiktinis elementas, apibrėžtas tikimybinėje
erdvėje
.
Įrodymas. Erdvėje apibrėžtas
tikimybinis Haro matas
. Tegul
yra
pasirenkama baigtinė pirminių skaičių aibė,
.
Pasinaudosime [7] darbe sukonstruota mačiąja funkcija
. Pažymėkime
funkcijos
siaurinį
koordinatinėje erdvėje
. Kadangi
yra
nepriklausomų atsitiktinių elementų, apibrėžtų tikimybinėje erdvėje
, seka ir
gauname
Vadinasi, yra
nepriklausomų atsitiktinių elementų, apibrėžtų tikimybinėje erdvėje
,
seka.
Teoremai įrodyti pakanka parodyti, kad sandauga
beveik tikrai tolygiai konverguoja srities
kompaktiniuose poaibiuose. Tam pakanka įrodyti, kad srities
kompaktiniuose poaibiuose beveik tikrai konverguoja
eilutė
(1)
čia
Atsitiktinio elemento vidurkį
pažymėkime
. Aišku,
kad
todėl
su kiekvienu pirminiu
. Be
to,
Remiantis Hasės įverčiu gauname, kad
su visais
Kadangi
yra
nepriklausomų atsitiktinių dydžių seka ir eilutės
ir
konverguoja, pagal jau žinomą 1.2.11 teoremą iš
[8], gauname, kad eilutė (1) konverguoja beveik tikrai kiekvienam fiksuotam
Tačiau (1)
yra Dirichlė eilutė, kuri tolygiai konverguoja srities
kompaktiniuose poaibiuose su beveik visais
mato
atžvilgiu.
Teorema įrodyta.
Suformuluosime ribinę teoremą elipsinių
kreivių L funkcijai analizinių
funkcijų erdvėje.
3 teorema. Tarkime, kad egzistuoja
sveikasis skaičius ir fiksuotas
, tokie, kad
būtų racionalusis skaičius. Tada tikimybinis
matas
silpnai konverguoja į atsitiktinio elemento
skirstinį, kai
Universalumo teoremos įrodymas remiasi diskrečiąja ribine teorema analizinių funkcijų erdvėje. Pastarajai teoremai įrodyti naudojamos ribinės teoremos Dirichlė polinomams bei ribinės teoremos absoliučiai konverguojančioms Dirichlė eilutėms [5].
Tegul yra laisvai
pasirenkamas skaičius, toks, kad
Aišku, kad
, todėl
taip pat yra
-reikšmis
atsitiktinis elementas, apibrėžtas tikimybinėje erdvėje
.
Pažymėkime jo skirstinį
.
Norint įrodyti universalumo teoremą, mums
reikės -reikšmio
atsitiktinio elemento skirstinio
atramos
juostoje
Priminsime, kad
mato Q atrama yra vadinama tokia minimali uždara aibė
, kad
Aibė
yra sudaryta iš tokių elementų
kurių bet kuriai atvirai aplinkai G yra teisinga nelygybė
.
Tegul ,
ir
(2)
4 lema [3]. Visų konverguojančių eilučių
aibė erdvėje yra tirštoji
aibė.
Dabar esame pasirengę apibrėžti atramą.
Tegul
.
5
lema. -reikšmio
atsitiktinio elemento skirstinio
atrama yra
aibė
.
Įrodymas. 2 teoremos įrodyme gauta,
kad yra
nepriklausomų atsitiktinių dydžių, apibrėžtų tikimybinėje erdvėje
, seka. Todėl, išlaikydami (2) žymėjimą, turime, kad
yra erdvės
nepriklausomų
-reikšmių
atsitiktinių elementų seka. Atsitiktinio elemento
atrama yra aibė
.
Vadinasi, remiantis 1.7.10 teorema iš [8],
-reikšmio
atsitiktinio elemento
atrama yra visų konverguojančių eilučių
aibės
uždarinys. Remiantis 4 lema, pastaroji aibė yra tiršta erdvėje . Pažymėkime
funkciją,
apibrėžtą formule
,
.
Ši funkcija
priskirianti
ir
priskirianti
yra tolydi.
Taigi,
atrama apima
. Tačiau
atrama yra
uždara aibė. Todėl, remiantis Hurvico (Hurwitz) teorema (žr. [8], 6.5.5
lema),
. Tokiu būdu
atrama apima
. Kita
vertus,
beveik
tikrai konverguojanti nenulinių daugiklių sandauga, vadinasi, pagal tą pačią
Hurvico teoremą,
atrama
beveik tikrai priklauso
. Lema
įrodyta.
1 teoremos įrodymas
Pasirenkame
tokį, kad
. Tarkime,
kad
turi
nenulinį analizinį pratęsimą į sritį
. Apibrėžkime
atvirąją aibę G formule
Iš 5
lemos seka, kad , o iš 3 teoremos
gauname, kad
(3)
Tegul tenkina 1
teoremos sąlygas. Tada pagal Mergeliano teoremą [10] srities
kompaktiniame poaibyje K egzistuoja daugianaris
,
, toks,
kad
(4)
Taip pat egzistuoja daugianaris
toks, kad
Iš šios ir (4) nelygybių matome, kad
(5)
Kadangi , iš (3)
randame, kad
Iš šios ir (5) nelygybės gauname teoremos tvirtinimą.
1. Elipsinių kreivių L funkcijai galioja diskrečioji ribinė teorema tikimybinių matų silpnojo konvergavimo prasme analizinių funkcijų erdvėje.
2.
Funkcijai galioja
diskrečiojo universalumo nelygybė, kai
yra
racionalusis skaičius su tam tikrais
.
1. Bagchi B., 1981, The statistical behaviour and universality properties of the Riemann zeta-function and other allied Dirichlet series, Ph. D. Thesis, Calcuta, Indian Statistical Institute.
2. Breuil C., Conrad B., Diamond F.,
Taylor R., 2001, On the modularity of elliptic curves over :
wild 3-adic exercises. Journal of the American Mathematical
Society,14(4), 843–939. http://www.jstor.org/stable/827119
3. Garbaliauskienė V., Laurinčikas A., 2004, Discrete value distribution of L-functions of elliptic curves. Publications de l'Institut Mathematique, 76 (90), 65–71. https://doi.org/10.2298/PIM0476065G
4. Garbaliauskienė V., Laurinčikas A., 2005, Some analytic properties for L-functions of elliptic curves. Proceedings Institute of Mathematics NAN Belarus, 13(1), 75–82.
5. Garbaliauskienė V., Genys J., Laurinčikas A., 2008, Discrete universality of the L-functions of elliptic curves, Siberian Mathematical Journal, 49(4), 612–627. https://doi.org/10.1007/s11202-008-0058-0
6. Garbaliauskas A., 2018, Universality theorems in physic. Jaunųjų mokslininkų darbai, 48(2), 22–26. https://doi.org/10.21277/jmd.v48i2.223.
7. Kačinskaitė R., Laurinčikas A., 2004, On the value distribution of the Matsumoto zeta-function. Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, 105(4), 339–359. https://doi.org/10.1023/B:AMHU.0000049284.92198.76.
8. Laurinčikas A., 1996, Limit Theorems for the Riemann Zeta-Function, Kluwer, Dordrecht.
9. Voronin S. M., 1979, Analytic properties of Dirichlet generating functions of arithmetic objects. Mathematical notes of the Academy of Sciences of the USSR, 24, 966–969. https://doi.org/10.1007/BF01140029
10. Walsh J. L., 1960, Interpolation and Approximation by Rational Functions in the Complex Domain. American Mathematical Society Colloquium Publications, 20. https://doi.org/10.1126/science.85.2196.121