Apie standartinį Brauno judesį. I

Santrauka

Tegul turime standartinį Brauno judesį {B_s, 0≤ s≤ 1} tikimybinėje erdvėje (Ω ℱ ℙ); Tegul B₀ = 0, EB_s = 0 ir EB_s² = s. Nagrinėjame atsitiktinį dydį B = sup_{0≤ s≤ 1}|B_s| ir jo pasiskirstymo funkciją
F(x) = P{sup_{0≤ s≤ 1}|B_s| < x}.
Darbe išnagrinėtos tos pasiskirstymo funkcijos F(x) skirtingos formulės išraiškos ir gautos naujos formulės tikimybiniam matui:
P(min_{0≤ s≤ 1} B_s > x₁, max_{0≤ s≤ 1} B_s < x₂)
= 4/π ∑ _{0 ≤ k ≤ ∞} ((-1)^k/(1+2k)) exp (-((1+2k)²π²t)/(2(x₂-x₁)²)) cos(((2k+1)π(x₁+x₂))/(2(x₂-x₁)))
= 4/π ∑ _{0 ≤ k ≤ ∞} (1/(1+2k)) exp (-((1+2k)²π²t)/(2(x₂-x₁)²)) sin((2k+1)πx₁)/(x₂-x₁))
visiems x₁ ir x₂, kai x₁ < 0 < x₂.